Critère de divisibilité par 19 - Corrigé

Énoncé

1. Soit \(n \in \mathbb{N}\) qui s'écrit \(n=10a+b\) avec  \(a\) ,  \(b \in \mathbb{N}\) .

Démontrer que \(n\) est divisible par  \(19\) si, et seulement si, \(a+2b\) est divisible par \(19\) .

2. Application

Sans calculatrice, déterminer les nombres divisibles par  \(19\) parmi :  \(149~986 \ ; \ 5~687 \ ; \ 3~002.\)

Solution

1. On remarque que \(2n \equiv 20a+2b \equiv 19a+a+2b \equiv a+2b \ [19]\) .
On a donc : 
\(\begin{align*} n \text{ est divisible par } 19 & \ \ \Longleftrightarrow \ \ n \equiv 0 \ [19] \\ & \ \ \Longrightarrow \ \ 2n \equiv 0 \ [19] \\ & \ \ \Longrightarrow \ \ a+2b \equiv 0 \ [19] \\ & \ \ \Longrightarrow \ \ a+2b \text{ est divisible par } 19. \end{align*}\)  
Réciproquement, si \(a+2b\) est divisible par \(19\) ,  alors \(a+2b \equiv 0 \ [19]\) , donc \(a \equiv -2b \ [19]\) , et donc \(\begin{align*} n \equiv 10a+b \equiv 10 \times (-2b)+b \equiv -20b+b \equiv -19b \equiv 0 \ [19] \end{align*}\)
donc \(n\) est divisible par \(19\) .

2. 

• \(149~986=10 \times 14~998+6\) est divisible par \(19\)  si, et seulement si, 
  \(14~998+2 \times 6=15~010\) est divisible par \(19\) .
  \(15~010=10 \times 1~501+0\) est divisible   par \(19\)  si, et seulement si,
  \(1~501+2 \times 0=1~501\) est divisible   par \(19\) . 
  \(1~501=150 \times 10+1\) est divisible par \(19\)  si, et seulement si, 
  \(150+2 \times 1=152\) est divisible   par \(19\) . 
  \(152=15 \times 10+2\) est divisible par \(19\)  si, et seulement si, 
  \(15+2 \times 2=19\) est divisible   par \(19\) . 
  C'est le cas, donc \(149~986\) est divisible   par \(19\) . 
  On peut aussi présenter le raisonnement sous forme d'un tableau.
  \(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n_1=10a+b & a&b&2b&n_2=a+2b \\ \hline 149~986 & 14~998 & 6 & 12 & 15~010 \\ \hline 15~010 & 1~501 & 0 & 0 & 1~501 \\ \hline 1~501 & 150 & 1 & 2 & 152 \\ \hline 152 & 15 & 2 & 4 & 19 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)   
  
• On a :
  \(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n_1=10a+b & a & b & 2b & n_2=a+2b \\ \hline 5~687 & 568 & 7 & 14 & 582 \\ \hline 582 & 58 & 2 & 7 & 62 \\ \hline 62 & 6 & 2 & 4 & 10 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)  
  donc  \(5~687\) n'est pas divisible par \(19\) .
  
• On a : 
  \(\begin{align*} \begin{array}{|c|c|c|c|c|} \hline n_1=10a+b & a & b & 2b & n_2=a+2b \\ \hline 3~002 & 300 & 2 & 4 & 304 \\ \hline 304 & 30 & 4 & 8 & 38 \\ \hline 38 & 3 & 8 & 16 & 19 \\ \hline \end{array} \end{align*}\)  
  donc  \(3~002\)  est divisible par \(19\) .